a) porqué

Es un sustantivo masculino que equivale a causa, motivo, razón, y se escribe con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal. Puesto que se trata de un sustantivo, se usa normalmente precedido de artículo u otro determinante:

No comprendo el porqué de tu actitud [= la razón de tu actitud].

Todo tiene su porqué [= su causa o su motivo].

Como otros sustantivos, tiene plural:

Hay que averiguar los porqués de este cambio de actitud.

b) por qué

Se trata de la secuencia formada por la preposición por y el interrogativo o exclamativo qué (palabra tónica que se escribe con tilde diacrítica para distinguirla del relativo y de la conjunción que). Introduce oraciones interrogativas y exclamativas directas e indirectas:

¿Por qué no viniste ayer a la fiesta?

No comprendo por qué te pones así.

¡Por qué calles más bonitas pasamos!

Obsérvese que, a diferencia del sustantivo porqué, la secuencia por qué no puede sustituirse por términos como razón, causa o motivo.

c) porque

Se trata de una conjunción átona, razón por la que se escribe sin tilde. Puede usarse con dos valores:

Como conjunción causal, para introducir oraciones subordinadas que expresan causa, caso en que puede sustituirse por locuciones de valor asimismo causal como puesto que o ya que:

No fui a la fiesta porque no tenía ganas [= ya que no tenía ganas].

La ocupación no es total, porque quedan todavía plazas libres [= puesto que quedan todavía plazas libres].

También se emplea como encabezamiento de las respuestas a las preguntas introducidas por la secuencia por qué:

—¿Por qué no viniste? —Porque no tenía ganas.

Cuando tiene sentido causal, es incorrecta su escritura en dos palabras.
Como conjunción final, seguida de un verbo en subjuntivo, con sentido equivalente a para que:

Hice cuanto pude porque no terminara así [= para que no terminara así].

En este caso, se admite también la grafía en dos palabras (pero se prefiere la escritura en una sola):

Hice cuanto pude por que no terminara así.

d) por que

Puede tratarse de una de las siguientes secuencias:

La preposición por + el pronombre relativo que. En este caso es más corriente usar el relativo con artículo antepuesto (el que, la que, etc.):

Este es el motivo por (el) que te llamé.

Los premios por (los) que competían no resultaban muy atractivos.

No sabemos la verdadera razón por (la) que dijo eso.

La preposición por + la conjunción subordinante que. Esta secuencia aparece en el caso de verbos, sustantivos o adjetivos que rigen un complemento introducido por la preposición por y llevan además una oración subordinada introducida por la conjunción que:

Al final optaron por que no se presentase.

Están ansiosos por que empecemos a trabajar en el proyecto.

Nos confesó su preocupación por que los niños pudieran enfermar.

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